- O Paradoxo de Banach-Tarski
Ou O que a Matemática e os Milagres têm em Comum
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E ele, ao desembarcar, viu uma grande
multidão; e, compadecendo-se dela, curou os seus enfermos. Chegada a tarde,
aproximaram-se dele os discípulos, dizendo: O lugar é deserto, e a hora é já
passada; despede as multidões, para que vão às aldeias, e comprem o que comer.
Jesus, porém, lhes disse: Não precisam ir embora; dai-lhes vós de comer. Então
eles lhe disseram: Não temos aqui senão cinco pães e dois peixes. E ele disse:
trazei-mos aqui. Tendo mandado às multidões que se reclinassem sobre a relva,
tomou os cinco pães e os dois peixes e, erguendo os olhos ao céu, os abençoou; e
partindo os pães, deu-os aos discípulos, e os discípulos às multidões. Todos
comeram e se fartaram; e dos pedaços que sobejaram levantaram doze cestos
cheios. Ora, os que comeram foram cerca de cinco mil homens, além de mulheres e
crianças. - Mateus 14:14-21
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Por que um
artigo que deveria ser sobre matemática começa com a alimentação dos cinco mil?
Nos anos vinte dois matemáticos poloneses - Stephan Banach e Alfred Tarski -
provaram um teorema matemático que soa muito como a alimentação de cinco mil. Em
sua honra, ele é chamado paradoxo de Banach-Tarski*. As conseqüências do
paradoxo de Banach-Tarski são, por exemplo:
Uma laranja pode ser cortada em um número
finito de pedaços, e esses pedaços podem então ser juntados novamente para
formar duas laranjas, cada uma tendo o mesmo tamanho da que foi cortada em
pedaços.
Outra conseqüência, ainda mais bizarra, é:
Uma ervilha pode ser cortada em um número
finito de pedaços, e esses pedaços podem então ser reagrupados para formar
uma bola sólida com um diâmetro maior do que a distância da Terra ao Sol.
Mais geralmente, sempre que você tiver um
corpo tridimensional (com algumas restrições), você pode obter qualquer outro
corpo ao quebrar o primeiro em pedaços e reagrupar as partes. Transformar cinco
pães e dois peixes em comida suficiente para alimentar uma multidão de mais de
cinco mil pessoas parece então um exercício simples.
Se você leu até aqui, sua atitude presumivelmente é uma das duas:
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Sua crença na verdade absoluta dos teoremas
matemáticos é tão forte que faz com que engula o paradoxo de Banach-Tarski.
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Você é um cético tão vigoroso, e assim nem
toma a alimentação dos cinco mil nem o paradoxo de Banach-Tarski de forma
literal.
Se você cai na primeira categoria,
provavelmente há pouco incentivo para que continue lendo este artigo. Do
contrário, acho que sua atitude é melhor descrita da seguinte forma: Você pode
acreditar na estória da alimentação dos cinco mil mas não tomá-la literalmente,
e se você ouve falar de um teorema matemático cujas conseqüências são obviamente
absurdas, você tende a achar que o teorema está errado.
Pegue uma laranja e uma faca afiada. Corte a laranja em pedaços e tente formar
com os pedaços dois globos com aproximadamente o mesmo tamanho. Se os pedaços
forem suficientemente pequenos, cada um desses globos será razoavelmente
parecido com uma bola, mas é claro, cada uma com um volume que é mais ou menos a
metade da laranja original. Talvez você não tenha cortado a laranja do jeito
certo. Você pode tentar sua sorte com centenas de laranjas: acabará produzindo
toneladas de bagaço, mas nenhuma corroboração do paradoxo de Banach-Tarski. Isso
não parece mostrar que o paradoxo Banach-Tarski está errado?
O paradoxo de Banach-Tarski é um teorema que chamamos de teorema de existência:
há uma forma de dividir uma ervilha de forma que os pedaços possam ser
reagrupados em, digamos, uma estátua em tamanho natural de Stefan Banach. O fato
de você não conseguir encontrar tal forma não significa que ela não existe -
você pode simplesmente não tê-la encontrado ainda. Deixe-me clarificar com um
exemplo de aritmética elementar. Um inteiro positivo
p é chamado primo se 1 e p são seus únicos divisores; por
exemplo, 2, 3 e 23 são primos, enquanto 4 = 2.2 e 243 = 3.81 não são. Os gregos
antigos sabiam que todos inteiros positivos têm uma fatorização em primos: se
n é um inteiro positivo, então há números primos p1,.....,pk de forma
que
n = p1....pk. Para um n pequeno, tal fatorização em primos é
fácil de encontrar: 6 = 2.3, 243 = 2.3.3.3.3 e 6785 = 5.23.59, por exemplo. Há
essencialmente apenas um jeito de encontrar uma fatorização em primos -
tentando. Achar a fatorização de 6785 - armado apenas com lápis e papel - deve
ter tomado certo tempo. Agora pense em um número grande, digo, realmente grande:
7380563434803675764348389657688547618099805.
Esse é um número positivo sem nenhum problema, e o teorema diz a você que ele
tem uma fatorização em primos, mas - por favor! - não gaste horas, dias ou mesmo
anos de sua vida tentando achá-la. Você deve pensar: para que os computadores
foram inventados? É fácil escrever um pequeno programa que produz a fatorização
em primos de um inteiro positivo arbitrário (e ele pode mesmo produzir uma de
7380563434803675764348389657688547618099805 em um período de tempo razoável).
Contudo, o tempo médio que tal programa levaria para achar a fatorização de um
inteiro
n aumenta dramaticamente à medida que n fica maior: para um n
suficientemente grande, o tempo que até o mais rápido supercomputador disponível
hoje levaria - em média - para achar a fatorização em primos de n seria maior
que a idade do universo.
Assim, embora a fatorização em primos de um inteiro positivo sempre exista, ela
pode ser impossivelmente difícil de encontrar. De fato, isto é algo bom - é o
coração dos códigos de chaves públicas que tornam as transações de cartão de
crédito na internet seguras, por exemplo. Agora, pense de novo no paradoxo de
Banach-Tarski. Apenas porque você não pôde fazê-lo funcionar na sua cozinha
(assim como você não pôde encontrar a fatorização de um certo inteiro muito
grande) isso não significa que o teorema é falso (ou que esse inteiro particular
não tenha uma fatorização em primos).
Vamos tentar refutar o paradoxo de Banach-Tarski com a única ferramenta que
funciona em matemática: pensamento puro. O que faz o paradoxo de Banach-Tarski
desafiar o senso comum é que, aparentemente, o volume de algo aumenta do nada.
Você certamente conhece um certo número de fórmulas para calcular os volumes de
certos corpos tridimensionais. Por exemplo, se C é um cubo cujas arestas têm o
comprimento l, então o volume V (C) é l3; se B é uma bola com raio r,
então seu volume V (B) é 4/3¶r3.
Mas qual é o volume de um corpo tridimensional arbitrário? Não importa como o
volume de um corpo concreto é calculado, o seguinte é certamente verdade sobre o
volume de corpos tridimensionais arbitrários:
- Se o corpo ~B é obtido do corpo B simplesmente movendo o corpo B no espaço
tridimensional, então V (~B) = V (B);
- Se B1, . . . ,Bn são corpos no espaço
tridimensional, então o volume de sua união é menor ou igual à soma de seus
volumes, i.e.,
- Se B1, ... , Bn são corpos no espaço
tridimensional de forma que nenhum deles possui um ponto em comum, então o
volume de sua união é igual à soma de seus volumes, i.e.;
Assim, digamos que B seja um corpo
tridimensional arbitrário, e digamos que B1, ... , Bn sejam subconjuntos de B de
forma que nenhum deles tenha qualquer ponto em comum e B = B1 U ... U Bn.
Agora, mova cada Bj no espaço tridimensional, e obtenha ~B1, ... , ~Bn.
Finalmente, reúna ~Bj novamente e obtenha outro corpo ~B = ~B1 U ... U ~Bn.
Agora nós temos para os volumes de B e ~B:
Isto significa que o volume de ~B deve ser
menor ou igual ao volume de B - não pode ser maior. Banach e Tarski estavam
errados! Será mesmo?
Nossa refutação de Banach-Tarski parece perfeita. Tudo de que precisamos foram
três propriedades básicas do volume de corpos tridimensionais. Mas isso era
tudo? Por trás de nosso argumento, havia uma suposição oculta - todo corpo
tridimensional tem um volume. Se nós deixarmos esta suposição, nosso argumento
subitamente colapsa. Se apenas um dos corpos Bj não tem volume, toda nossa
cadeia de (in)equações não faz mais sentido. Mas por que um corpo tridimensional
não deveria ter volume? Isso não é óbvio? O que é de fato verdade é que todo
pedaço de laranja que você pode possivelmente produzir com uma faca tem um
volume. Por esta razão, você nunca será capaz de usar o paradoxo de
Banach-Tarski para reduzir seus gastos com alimentação. Uma conseqüência do
paradoxo de Banach-Tarski é portanto que há um jeito de cortar uma laranja para
que você possa formar, digamos, uma abóbora gigante com os pedaços - mas você
nunca será capaz de fazer isso por si mesmo usando uma faca. Que tipo de lógica
bizarra pode fazer alguém aceitar isso?
Talvez você esteja querendo ficar a par do axioma de escolha:
Se você tem uma família de conjuntos
não-vazios S, então há uma forma de escolher um elemento x de cada conjunto
S nessa família.
Isso soa plausível, não? Apenas pense em um
número finito de conjuntos não-vazios S1,...Sn: Pegue x1 de S1, e então prossiga
para S2, e finalmente pegue xn de Sn. O que o axioma da escolha tem a ver com o
paradoxo de Banach-Tarski? Como se revela, muita coisa: Se o axioma da escolha é
verdadeiro, então o paradoxo de Banach-Tarski pode ser derivado dele e, em
particular, deve haver corpos tridimensionais sem volume. Assim, a resposta à
questão de se o paradoxo de Banach-Tarski é verdadeiro depende se o axioma da
escolha é verdadeiro.
Certamente, o axioma da escolha funciona para um número finito de conjuntos
não-vazios S1,...,Sn. Agora pense em uma seqüência infinita S1, S2,... de
conjuntos não-vazios. Novamente, pegue x1 de S1, então x2 de S2, e apenas
continue. Você nunca chegará a um fim, mas eventualmente produzirá um elemento
xn de cada Sn. Assim, o axioma da escolha é verdade neste caso também. Mas e se
tivermos uma família verdadeiramente arbitrária de conjuntos? E se tivéssemos de
lidar com a família de todos subconjuntos não-vazios da linha real? Pode ser
mostrado que esta família de conjuntos não pode ser escrita como uma seqüência
de conjuntos. Como escolhemos um número real de cada conjunto? Não há um
algoritmo que nos permita pegar um elemento de um conjunto, um segundo elemento
de outro conjunto e, eventualmente, de pegar um elemento de cada conjunto na
família. Mesmo assim, o axioma da escolha ainda parece plausível - cada conjunto
S em nossa família é não-vazio e portanto contém algum elemento x - por que não
deveria existir um jeito de escolher um elemento particular de cada tal
conjunto?
Por outro lado, aceitar o axioma da escolha implica em fenômenos estranhos como
o paradoxo de Banach-Tarski. Se o axioma da escolha é verdade, então devemos
aceitar a misteriosa duplicação de laranjas. Se é falso, então por quê? Por
favor, não tente provar ou refutar o axioma da escolha - você não conseguirá
fazer qualquer uma das coisas. O axioma da escolha está além de prova ou
refutação. Nós podemos supor que é verdadeiro, ou podemos supor que é falso. Em
outras palavras, nós precisamos acreditar nele ou deixá-lo de lado. A maioria
dos matemáticos hoje em dia acreditam no axioma da escolha por uma simples razão
- com o axioma de escolha, eles podem provar teoremas úteis, a maioria dos quais
é muito menos surpreendente que o paradoxo de Banach-Tarski.
Você está desapontado? Ao invés de elevar a alimentação dos cinco mil de um
assunto de fé a uma conseqüência de um irrefutável teorema matemático, o
paradoxo de Banach-Tarski exige que você aceite outro assunto de fé - o axioma
da escolha - antes que possa aceitar o teorema. No final das contas, o paradoxo
de Banach-Tarski não está assim tão distante da alimentação dos cinco mil...
* O teorema é provado no artigo: S. Banach and A. Tarski, Sur la décomposition
des ensembles de points en parts respectivement congruents. Fund. Math. 6
(1924), 244-277.
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