Fractais: Uma nova visão da natureza

Osame Kinouchi, manuscrito, veja também a sinopse
Reprodução gentilmente autorizada

Capítulo 1
Introdução: Vemos o mundo com nossos olhos ou com nossas mentes?

Locke, no século XVII, postulou (e reprovou) um idioma impossível no qual cada coisa individual, cada pedra, cada pássaro e cada ramo tivesse um nome próprio; Funes projetou certa vez um idioma análogo, mas o rejeitou por parecer-lhe demasiado geral, demasiado ambíguo.(…) Este, não o esqueçamos, era quase incapaz de idéias gerais, platônicas. Não lhe custava compreender somente que o símbolo genérico "cão" abrangesse tantos indivíduos dispares de diversos tamanhos e diversas formas; aborrecia-o que o cão das três e quatorze (visto de perfil) tivesse o mesmo nome que o cão das três e quatro (visto de frente). (…) Tinha aprendido sem esforço o inglês, o francês, o português, o latim. Suspeito, entretanto, que não era muito capaz de pensar. Pensar é esquecer diferenças, é generalizar, abstrair. No abarrotado mundo de Funes não havia senão pormenores, quase imediatos.
— "Funes, o Memorioso" (1956), Jorge Luis Borges.

Eu estava de férias e caminhava da praia para casa com dois sobrinhos: Pedro, de oito anos e Vitório, de seis. Não sei por que motivo (acho que ele sabia que eu era professor), Pedro perguntou: "Tio, o que são retas paralelas?" Pego de surpresa com a pergunta, respondi meio sem refletir: "Olha, Pedro, você está vendo a grade daquela casa, como os ferros ficam um do lado do outro, sem se encostar… são retas paralelas". Os meninos observavam, enquanto continuávamos andando. "E… hum… aquela outra grade com as linhas deitadas… e os fios bem esticados naquele poste… estão vendo? Ficam um do lado do outro, não se encontram… são paralelos… entendem? Os meninos acenaram com a cabeça e, durante alguns quarteirões, brincamos de reconhecer "retas paralelas": nas casas, nos carros, nos desenhos das calçadas e até nos desenhos em nossas roupas. Durante esse período, eu expliquei que as "verdadeiras" retas paralelas nunca terminam, são "infinitas", sempre mantêm a mesma distância entre si e nunca se encontram (ok, eu poderia ter falado de geometrias não-euclidianas, mas não falei).

Pedro gostou da brincadeira, e então disse: "Tio, dá mais uma "atividade" pra gente!" Rindo desse vocabulário "escolar", me veio uma idéia diabólica: "Hum… meninos… estão vendo aquela árvore sem folhas, cheia de raminhos… cada ramo se divide em ramos menores, que têm mais raminhos… estão vendo? É um… fractal!" Todas as explicações eram sempre acompanhadas de muitos gestos, enquanto continuávamos andando, e os meninos estavam interessados, perguntavam e gesticulavam também.

"E aquele arbusto, no terreno baldio… estão vendo? Ramos que se dividem em raminhos, sempre. É um fractal. Mas essa palmeira não é um fractal, nem as coisas muito retas, feitas pelo homem…" Encontrei uma pena de passarinho, examinamos de perto sua estrutura ramificada. "A linha do horizonte (montanhoso)… estão vendo? E aquela nuvem, cheia de gominhos, cada gomo tem mais gomos em cima… também é um fractal… entendem?" Os meninos acenavam, riam, tentavam encontrar "fractais" na rua… Começamos a brincar de "reconhecer fractais", como havíamos feito com as retas paralelas. A maioria dos exemplos que eles encontrava eram de árvores e, é claro, Pedro encontrava mais exemplos que Vitório, que queria a todo custo acompanhar o primo mais velho. Até que Vitório me surpreendeu… "Tio… e isso aqui?" Me mostrava um pedaço de carvão que tinha encontrado perto de um terreno baldio. "As rachaduras… têm rachadurinhas… que têm rachadurinhas… um monte! Não é um fractal?"

As trincas e fraturas no carvão formavam um belo exemplo de padrão fractal. Me surpreendi porque eu não havia dado exemplos em pedras ou na forma de trincas. Vitório, com apenas seis anos, não estava apenas repetindo os exemplos que eu dava. Ele havia aprendido a reconhecer padrões "fractais" (objetos geométricos que eu só havia estudado na pós-graduacão em Física) em novos contextos, havia generalizado. Para ele, aprender a reconhecer fractais era igualmente fácil (ou igualmente difícil) que aprender o que eram retas paralelas. E ele ainda nem sabia ler ou somar! Foi nesse dia que decidi escrever este livro.

Brócoli chou Romanesco

Existem (pelo menos) dois tipos bem distintos de aprendizagem: aprendizagem por exemplos e aprendizagem por definições. Eu não vou "definir" esses dois tipos, mas um "exemplo" é a aprendizagem feita por Pedro e Vitório. Após nossas brincadeiras, eles certamente não sabiam definir "fractais" (ou mesmo "retas paralelas"). Mas sabiam reconhecer padrões, instâncias desses conceitos geométricos. Exemplos parciais, limitados, como toda aplicação de conceitos geométricos ao mundo real (afinal, você nunca verá triângulos ou círculos verdadeiros, mas apenas realizações imperfeitas feitas com giz ou tinta e papel).

Dizem que educação é aquilo que permanece depois que você esqueceu tudo o que aprendeu na escola. O que é um círculo? Lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de um ponto? Ou será que isso era a definição de circunferência? Pois é, definições precisam ser memorizadas e tendem a ser esquecidas se não são usadas.

Você também pode ter uma definição matemática de círculo, rigorosa até a última letra, e ainda não ter intuição do que seja um círculo. As definições são verbais, ou escritas em símbolos matemáticos (que também são um tipo de linguagem). Você pode inclusive saber aplicá-la, relacioná-la com outros objetos geométricos. Mas não foi assim que você aprendeu inicialmente o que eram círculos. Alguém apontou uma roda, ou a lua cheia, ou fez um desenho para você. E isso você nunca esqueceu. A aprendizagem por exemplos parece ser o método natural de aprendizagem dos seres humanos. Ou, pelo menos, o método necessário a formação intuitiva de um conceito antes que a aprendizagem por definições e regras possa se iniciar.

O reconhecimento de padrões e a aprendizagem através de exemplos parecem ter um caráter visual (ou, mais geralmente, sensorial). A aprendizagem por definições e regras (algoritmos) é verbal. A sua grande utilidade é que, justamente por serem expressas pela linguagem, as regras e definições podem ser escritas, transmitidas e codificadas: "X é um A se e somente se X possui a propriedade P". Melhor ainda, podem ser colocadas em um programa de computador, que poderá fazer o trabalho de verificar se X é A por nós! Mas boas definições são difíceis de conseguir, porque sempre existem exceções, e casos limítrofes, ou então a definição não captura todos os casos que se deseja (certamente você deve ter ouvido falar que o melhor jeito de embaraçar um adversário em uma discussão é pedir que ele defina seus termos). E muitos conceitos úteis, quem sabe a maioria deles, talvez não sejam definíveis, são nebulosos ou "fuzzy", não possuem bordas de aplicação bem definidas. Como sentenciou um crítico de cinema: "Eu não sei definir pornografia, mas sei distin
guir entre um filme erótico e um pornográfico".

Conceitos geométricos são muito mais importantes do que geralmente supomos: afinal, ao contrário de outros mamíferos, nosso principal sentido é a visão e a maior parte de nossas metáforas são visuais. Ou seja, além de sua utilidade prática e de sua beleza estética, os conceitos geométricos também invadem nossa linguagem cotidiana: falamos em "traçar um paralelo", ir direto ao "ponto", ver de um novo "ângulo", "sair pela tangente", "círculo" de amizades, "esfera" de atuação, "triângulo" amoroso, "plano" espiritual. É de se esperar que, com o tempo, os conceitos da geometria fractal também se difundam culturalmente, produzindo novas metáforas visuais, novas maneiras de ver o mundo.

Fractais não são feitos de pontos, retas ou planos. São feitos de objetos intermediários entre essas coisas e não possuem comprimento, área ou volume. Isso parece não ser intuitivo, mas os fractais são na verdade extraordinariamente comuns. Não saber o que são fractais é comparável a acreditar que só existem números inteiros: 0, 1, 2, 3… e nada mais entre eles. E assim como existem infinitos números entre dois números inteiros, assim também objetos parecidos com os fractais são infinitamente mais comuns e encontráveis na natureza que os objetos parecidos com círculos, triângulos, quadrados, esferas, cubos ou pirâmides…

O objetivo deste livro é capacitar você, leitor, a reconhecer fractais, suas propriedades e aplicações. Isso é feito através de exemplos, e conforme os exemplos vão se sedimentando, eu acrescento as definições. Estas não pretendem ser matematicamente rigorosas, mas sim permitir enxergar mais amplamente, indo além dos exemplos. Se este livro for bem sucedido, mais do que aprender um tópico de matemática, você será capaz de ver o mundo com novos olhos. Vai enxergar padrões fractais onde antes parecia haver apenas itens amorfos, sem relação entre si. Porque não vemos o mundo com nossos olhos, mas com os conceitos que habitam nossa mente, mesmo que estes não estejam bem definidos e tenham sido aprendidos através de exemplos. Mas cuidado, é uma viagem sem volta! É impossível desaprender o que são fractais, é como tentar desaprender o que é um cão, uma árvore ou um círculo.

***

Capítulo 2 – Dimensões Fractais

– Joãozinho, qual é o comprimento da costa brasileira?
– Depende, professor…
– Mas como, Joãozinho, depende do quê?
– Depende do tamanho do meu barco…

O objetivo deste capítulo é mostrar que Joãozinho está certo. O comprimento do litoral depende de como ele é medido. Isto acontece porque o litoral, ao contrário do que você lê em muitos livros de geografia, não é uma linha. Perguntar sobre seu comprimento não tem sentido, é como perguntar qual a distância que cabe dentro de uma jarra, em vez de perguntar quantos litros cabem nela. Assim, dependendo de como é medida, a costa de um país pode ter mil, cinco mil ou dez mil quilômetros!

Vamos pensar na costa de um continente ou de uma ilha como a fronteira que separa a terra do mar. Ora, à primeira vista parece claro, num mapa, que essa fronteira é uma linha, ou seja, um objeto unidimensional que tem um comprimento bem definido (ver Box 1).. Afinal, o que mais poderia ser? (Bom, você já sabe, ela poderia ser um fractal…)

Figura 3.1 ““ Construção da Curva de Koch

Como é possível existir uma "linha" que une dois pontos mas que não tem comprimento bem definido? Para ver isso, comece com uma linha simples, um segmento de reta como o da Fig. 3.1. Imagine que no lado esquerdo está a terra, e no lado direito está o mar. Essa linha tem um comprimento bem definido, por exemplo, três quilômetros. Agora, divida o segmento em três partes iguais e substitua a parte do meio por dois pedaços de igual tamanho, formando uma entrada ou cavidade (acompanhe na Fig. 3.1), que você pode pensar como representando uma baía ou enseada no litoral. Qual é o comprimento dessa nova linha? É fácil ver que é simplesmente quatro quilômetros, pois cada pedaço vale um quilômetro.

Vamos continuar, então. Em cada segmento, proceda do mesmo modo: divida cada segmento em três partes iguais e substitua a do meio por dois segmentos de mesmo tamanho, de modo que cada segmento original agora tem quatro pedaços iguais. Qual é o novo comprimento?

Bom, a linha total tem 16 pedacinhos, e cada um possui 1/3 (um terço) de quilômetro (lembre-se que cada pedaço de 1 km foi dividido por três). Logo, o comprimento deve ser 16 vezes 1/3, ou seja, 16/3 = 5,333… km. De novo, o comprimento aumentou, já que antes era 4 km. Mas esse comprimento ainda é bem definido, nenhuma surpresa até agora. O que temos por enquanto é uma linha poligonal composta por um certo número de segmentos de reta, cada segmento com um comprimento bem definido.

O segredo para se obter um objeto fractal é continuar repetindo isso, sem parar. Cada repetição do mesmo procedimento é chamada de "iteração". A Fig. 3.1 dá uma idéia do que acontece quando o número de iterações vai aumentando. O resultado final é chamado de curva de Koch. Isso porque os matemáticos têm mania de chamar qualquer linha, mesmo uma linha reta ou poligonal, de curva. E Niels Fabin Helge von Koch (1870-1924), matemático sueco, foi quem inventou essa curva em 1904. É claro que a gente não consegue desenhar no papel uma curva de Koch perfeita, pois os detalhes vão ficando cada vez menores. Devemos fazer aqui um salto de imaginação: imagine cada pedaço com sua cavidade, e cada pedaço menor com sua cavidade menor ainda, e assim por diante, sem parar, com detalhes que não terminam nunca!

Note como o comprimento total vai aumentando sempre. É fácil ver por quê. Cada vez que você repete a formação da cavidade, o comprimento é multiplicado por 4/3 (ou seja, você fica com quatro novos pedaços, cada um com um terço do comprimento original). Mas 4/3 = 1,333… é um número maior que 1. Se você multiplica qualquer quantidade por um número maior que 1, e multiplica de novo, e de novo, sem parar, o resultado vai aumentando, aumentando até… até quanto? Bem, o resultado tende ao infinito! Se você não acredita nisso, use sua calculadora: multiplique qualquer número por 1,3, por exemplo, e continue multiplicando o resultado por 1,3 para ver aonde ele vai parar. E faça o mesmo usando algum número menor que 1, por exemplo 0,9.

Fig 3.2 ““ Floco de Neve de Koch

Isso quer dizer que o comprimento da curva de Koch é infinito! E isso acontece mesmo que a curva comece no ponto A e termine no ponto B da Figura 3.1. Mas como infinito não é um número normal, o comprimento não é bem definido: metade da curva de Koch tem o mesmo comprimento que ela inteira, pois ambos são infinitos! Isso mostra a diferença entre uma curva de Koch e um segmento de reta (ou mesmo uma curva poligonal usual) entre A e B: podemos dividir o segmento de reta em dois pedaços de mesmo comprimento, e cada pedaço terá (claro!) metade do comprimento do segmento total.

Outra observação interessante: se fizermos uma curva de Koch fechada, chamada de floco de neve de Koch (ver Fig. 3.2), ela define uma figura plana que tem uma área finita mas um perímetro infinito. Não é a toa que quando Koch apresentou sua curva, os outros matemáticos (e mesmo ele) a consideraram um monstro, uma patologia matemática, uma esquisitice que nunca teria aplicações na vida real.

Bom, mas parece que a Natureza é mais criativa e sutil que os matemáticos: o que alguns geógrafos descobriram
mais tarde é que o litoral dos continentes e ilhas é mais parecido com a curva de Koch do que com uma linha suave ou poligonal (isso será discutido melhor no próximo capítulo). Assim, uma cavidade pode representar uma entrada do mar na terra (dependendo do tamanho da cavidade, chamamos de golfo, baía ou enseada) que por sua vez tem suas pequenas baías, que tem suas pequenas enseadas e assim por diante. Eu disse parecido, mas não idêntico, porque o litoral é irregular enquanto que a curva de Koch é um fractal regular, como foi discutido no capítulo 1. Mas isso é fácil de resolver pois é possível fazer curvas de Koch irregulares, por exemplo escolhendo aleatoriamente qual dos três pedaços deve ser substituído pela cavidade formada por dois segmentos (ver Fig. 3.3).

Figura 3.3 ““ Curva de Koch Irregular

A diferença mais importante entre o litoral real e uma linha imaginária como a curva de Koch é que chega um momento em que os detalhes são tão pequenos (por exemplo, o espaço entre duas rochas à beira-mar) que não tem mais sentido perguntar onde começa a terra e onde termina o mar. E isso sem falar em outras complicações como as ondas e as marés, que fazem com que a linha de separação entre terra e água seja ainda mais mal definida, não é mesmo? Ou seja, o litoral real é ainda mais complicado que um fractal: seria melhor descrevê-lo como um fractal que muda com o tempo… E mesmo isso também é uma descrição incompleta, como toda aplicação da matemática ao mundo real! Lembre-se que o objetivo da ciência não é uma descrição perfeita do mundo, mas uma descrição melhor que as anteriores. Fazer ciência é como fazer mapas: um mapa com erros é um mau guia, mas um mapa muito detalhado pode ser menos útil que um mapa que mostre apenas as coisas importantes do terreno.

Figura 3.4 ““ Medindo a costa usando barcos

Se a curva de Koch (e, de certa forma, o litoral) não tem comprimento, se ela não é um objeto unidimensional (uma linha), o que ela é afinal? Intuitivamente ela parece ocupar "mais espaço" do que uma linha, mas certamente não é um objeto bidimensional que tem uma área medida em metros quadrados. A curva de Koch é mais que uma linha, porém menos que uma superfície. De alguma forma, ela parece ter uma dimensão entre um e dois, ou seja, uma dimensão fracionária. Com efeito, é possível generalizar a idéia de dimensão D além dos números inteiros. Assim, a reta tem dimensão D = 1, o plano tem dimensão D = 2 e a curva de Koch tem dimensão D = 1,2618… (os pontinhos indicam que o número continua). No final deste capítulo você verá como este número é encontrado.

Em termos práticos, nós gostaríamos de ter algum comprimento (nem que seja para colocar em um livro de geografia e dizer que o Brasil tem um litoral maior que o da Argentina!). Poderíamos medir o tamanho de um pedaço da costa contando quantos barcos enfileirados cabem ao longo dela (Figura 3.4). Esse não seria o "verdadeiro" comprimento, mas seria um comprimento na prática, que vamos chamar de "comprimento efetivo". Mas se os barcos forem grandes, eles passariam por cima de alguns detalhes. Com barcos menores, uma pequena enseada na costa poderia ser melhor preenchida, fazendo com que o comprimento efetivo aumentasse. Assim, o comprimento efetivo da costa dependeria do tamanho do barco usado para medi-la… E se o seu livro de geografia diz que a costa brasileira tem oito mil e tantos quilômetros, bem… seria melhor perguntar como o autor do livro mediu isso!

Box 3.1: Geometria Euclidiana: objetos com dimensões inteiras.

A geometria Euclidiana, que herdamos dos gregos, trabalha com alguns conceitos fundamentais tais como ponto, reta e plano. Vamos relembrar algumas das idéias básicas que usaremos ao longo deste capítulo:

“¢ Um ponto matemático não tem dimensão, ou melhor, podemos dizer que sua dimensão é nula, D = 0. Não podemos medir um ponto. Assim, todos os pontos têm o mesmo tamanho, todos são iguais.

“¢ Uma linha (reta ou curva, não importa) é unidimensional, ou seja, tem dimensão D = 1. A grandeza que mede uma linha é o seu comprimento, que vamos chamar de C. Uma unidade de medida de comprimento é, por exemplo, o metro (m).

“¢ Uma figura plana (um quadrado ou triângulo) é bidimensional, ou seja, D = 2. A grandeza que mede a superfície de uma figura plana é a área A. Por exemplo, a área de um terreno plano será medida em metros quadrados (m²). Mas note que a linha que define a figura plana (a linha constituída pelos lados da figura) tem dimensão D = 1. Essa linha é chamada de perímetro. Assim, um quadrado cujos lados têm 1 metro possui uma área A = 1 m² e um perímetro cujo comprimento é C = 4 m.

“¢ Um sólido geométrico, por exemplo uma esfera, pirâmide ou cubo, é um objeto tridimensional, D = 3. A grandeza relacionada aos objetos tridimensionais é o seu volume V. Uma unidade de volume é o metro cúbico (m³). Outra unidade é o litro, que equivale a um metro cúbico dividido por mil. Note, porém, que um sólido geométrico também tem uma superfície que o envolve. Por exemplo, se as arestas de um cubo tem um metro, então seu volume será de 1 m³ e sua área superficial será de 6 m² (pois o cubo tem seis faces quadradas).

“¢ O que é importante notar nesses exemplos é que quando expressamos as unidades de área e volume como potências de um comprimento L (no nosso caso, L = metro), a dimensão D dessas grandezas aparece no expoente. Ou seja, a grandeza ou medida M que mede um objeto de D dimensões terá unidades na forma L^D. Assim, a área (D = 2) será medida em unidades de comprimento ao quadrado (L²) e o volume (D = 3) será medido em unidades de comprimento ao cubo (L³). Note que isto também vale para D = 1, pois o comprimento será medido em unidades de L¹ = L, e mesmo para D = 0, se lembrarmos da convenção matemática que L⁰ = 1, ou seja, é um número puro, que não tem dimensão.

“¢ Os objetos fractais não terão comprimento, área ou volume, mas terão alguma outra medida, que chamaremos de M_D e que terá unidades na forma L^D onde D agora é um número não inteiro (fracionário). Assim, comprimento (C = M₁), área (A = M₂) e volume (V = M₃) são casos particulares da medida geral M_D.

Dimensões fractais entre zero e um: o conjunto de Cantor

Na curva de Koch, três segmentos davam lugar a quatro segmentos do mesmo tamanho em cada iteração. Ou seja, o processo de construção adicionava pedaços a um objeto unidimensional (uma linha) gerando um fractal com dimensão maior que um. Mas o que acontece se, em cada iteração, retirarmos um pedaço de cada segmento?

Vamos começar como antes: pegue um segmento, divida-o em três partes iguais e retire a do meio. Repita a operação com os segmentos que restaram, depois repita de novo, e de novo, e de novo… sem parar. A Figura 3.5 dá uma idéia do que acontece.

Figura 3.5 ““ Conjunto de Cantor

Se a linha fosse um objeto físico, feita de átomos, e se você tirasse pedaços a cada iteração, você iria acabar possuindo um conjunto de átomos isolados no final. Mas aqui estamos pensando numa linha matemática, ou seja, uma linha ideal, imaginária, perfeita, que não é feita de átomos. Neste caso, você vai dividindo, dividindo, e sempre continua tendo segmentos de reta mas nunca pontos isolados. Além disso, o número desses segmentos tende ao infinito
. Logo, já podemos suspeitar que nunca teremos um conjunto com dimensão D = 0 (ou seja, um conjunto formado apenas por pontos isolados).

Por outro lado, a soma total dos comprimentos dos segmentos vai sempre diminuindo. Como tiramos 1/3 de cada segmento, depois de cada iteração sobram 2/3. Ou seja, a cada iteração, o comprimento total é multiplicado por 2/3 = 0,666…, que é um número menor que um e… você já sabe, não importa o número inicial, essa multiplicação repetida vai levar o valor do comprimento para zero. Ou seja, a soma do comprimento de todos os (infinitos!) "segmentos" que restam é zero, e mesmo assim não temos pontos isolados! Bom, mas então os "segmentos" que restaram já não são realmente segmentos de reta (porque segmentos de reta sempre têm comprimento maior que zero!), eles se tornaram outra coisa quando repetimos a operação infinitas vezes! Esses "segmentos" se tornaram fractais!

Essa outra coisa, que não é nem um conjunto de pontos nem um conjunto de segmentos de reta, é chamada de conjunto de Cantor (o procedimento foi inventado pelo matemático Georg Cantor, que viveu no século XIX, era maníaco-depressivo e morreu em um asilo após revolucionar a Matemática!). Pelos mesmos métodos usados no caso da curva de Koch, podemos encontrar que a dimensão do conjunto de Cantor é D = 0,6309…

Outra coisa a notar é a propriedade de auto-semelhança, já discutida no capítulo 1. Um pedacinho pequeno do conjunto de Cantor é semelhante ao conjunto todo. É por isso que enfatizamos que o conjunto de Cantor não é um constituído de pontos isolados ou de segmentos de reta. O conjunto de Cantor é um conjunto de… pequenos conjuntos de Cantor!

Box 3.2: Biografias: Cantor, Koch, Sierpinsky, Menger e Haussdorf.

Dimensões fractais entre um e dois: O tapete de Sierpinsky

Já conhecemos bem um objeto fractal com dimensão D tal que 1 < D < 2: a curva de Koch. Ela foi obtida a partir de uma linha, que é um objeto unidimensional, adicionando-se segmentos em um processo de iteração infinito para produzir um objeto com dimensão maior que um. Note que o segredo para criar um objeto fractal não é simplesmente adicionar ou retirar pedaços, mas sim fazer isso infinitas vezes!

Dá para suspeitar que também poderíamos obter um fractal com dimensão entre um e dois retirando-se pedaços de um objeto bidimensional. Por exemplo, podemos começar com um quadrado, dividindo-o em nove quadradinhos e retirando-se o quadradinho central (ver Figura 3.6). Fazendo-se isso infinitas vezes, acabamos obtendo o tapete de Sierpinsky. É um objeto fractal de dimensão D = 1,8928…

Figura 3.6 ““ Tapete de Sierpinsky
D = 1,89…

Em vez de um quadrado, poderíamos ter começado com um triângulo, dividindo o triângulo em quatro e retirando o triângulo central (Fig.3.7). Neste caso, temos a intuição de que ele é mais cheio de buracos que o tapete quadrado, e que ele deveria ter uma dimensão menor. Com efeito, sua dimensão fractal é D = 1,5849… Guarde bem a imagem desse tapete triangular, pois você o reconhecerá mais tarde em lugares inesperados tais como… na superfície de uma concha marinha (capítulo 6).

Figura 3.7 ““ Tapete de Sierpinsky triangular
D = 1,58…

Como em cada iteração a área é diminuída (por um fator 8/9 no caso do tapete quadrado, e por um fator 3/4 no caso do triangular), a área total desses tapetes, após infinitas iterações, é zero. Ou seja, de novo precisamos compreender que esses tapetes de Sierpinsky não são feitos de pedacinhos que possuem área, mas sim de pedaços que são eles próprios pequenos tapetes de Sierpinsky que não têm área.

Outra coisa curiosa é que se você somar o perímetro de todos os buracos, ele é infinito! Assim, ao contrário do floco de neve de Koch, os tapetes de Sierpinsky possuem fronteiras infinitas que envolvem uma área igual a zero…

Dimensões fractais entre dois e três: relevos fractais e esponjas de Menger

Você já deve estar pegando o jeito da coisa. Para obter um fractal com dimensão maior que dois poderíamos pensar em adicionar pedaços a um objeto bidimensional (por exemplo, um quadrado) ou retirar pedaços de um objeto tridimensional (por exemplo um cubo). Se partirmos de uma figura plana, teremos um relevo fractal com área infinita (Fig. 3.8), uma idéia que será usada quando estudarmos o relevo terrestre, os pulmões e intestinos.

Fig. 3.8 ““ Relevo Fractal

Se partirmos de um sólido geométrico, por exemplo um cubo, e retirarmos pedaços, obteremos algo como a esponja de Menger (Figura 3.9), que tem uma área superficial infinita envolvendo um volume nulo.

Figura 3.9 ““ Esponja de Menger

Todos esses fractais são interessantes, mas são muito regulares, simétricos e infinitamente detalhados. Na Natureza, com mais freqüência, encontraremos formas parecidas com fractais irregulares e que possuem um limite para o nível de detalhes que pode ser descrito por fractais. Neste capítulo estudamos fractais regulares porque para estes é mais fácil determinar sua dimensão fractal.

Como encontrar a dimensão fractal de um objeto

Vimos que o comprimento C é a medida adequada para objetos com dimensão D = 1. Da mesma forma, a área A é a medida adequada para objetos com D = 2 e o volume V é a medida para objetos com D = 3. Ao entrar em contato com os fractais, percebemos que essas medidas são casos particulares de uma medida geral M_D que depende da dimensão D: M₁ é o comprimento, M₂ é a área e M₃ é o volume.

Também vimos que se um objeto tem dimensão D então apenas a grandeza MD será uma medida adequada de seu tamanho. Assim, se perguntarmos qual a área de um quadrado, estaremos fazendo uma pergunta interessante, cuja resposta diz algo sobre o quadrado, pois quadrados diferentes têm áreas diferentes. Mas se perguntarmos qual o comprimento ou o volume de um quadrado, estaremos fazendo uma pergunta que não tem sentido. O volume de qualquer quadrado é zero, e seu comprimento é infinito, não importa o tamanho do quadrado (cuidado: estou falando do quadrado enquanto figura plana; os lados de um quadrado possuem comprimento bem definido, pois são linhas unidimensionais).

Como se mede a área de uma figura plana complicada, por exemplo a área da figura abaixo?

Uma maneira de medir a área de qualquer figura plana é contar quantos quadradinhos são necessários para recobrir toda figura. Suponha que você cobriu a figura com quadradinhos de lado d, como feito abaixo

A área de cada quadradinho é d2. Logo, se foram necessários N quadradinhos de lado d para recobrir a figura, você pode dizer que a área vale aproximadamente

A = Nd².

É claro que isso vai dar uma área maior que a área verdadeira, porque alguns pedaços dos quadradinhos ficaram para fora. Mas se você usar quadradinhos cada vez menores, essa medida vai dar um valor cada vez mais exato.

Isso fornece uma idéia para se determinar a dimensão D de um objeto fractal. Basta recobri-lo com pequenos "quadradinhos" de lado d (usamos aspas porque n
a verdade, não são quadradinhos mas "fractaizinhos"). O tamanho total do objeto fractal será dado pela medida M_D = N d^D (o número de "quadradinhos" necessário para recobrir o fractal vezes o "área" de cada "quadradinho"). A dimensão fractal D é um valor especial tal que a medida MD não é nem zero nem infinita.

Vamos ilustrar esse método calculando a dimensão "fractal" de um quadrado. Imagine que nós não soubéssemos que o quadrado é uma figura bidimensional (ou seja, D = 2). Começamos com um quadrado de lado L (acompanhe na Fig. 3.10). Vamos fazer com que os nossos quadradinhos, a cada iteração, tenham seu lado dividido por dois. Chamaremos de n o número da iteração. Assim, na primeira iteração (n = 1) precisamos de 4 quadrados. Na segunda iteração (n = 2), cada quadrado anterior é recoberto por 4 quadradinhos menores, ou seja, agora precisamos de 16 quadradinhos. É fácil ver que se chamarmos de N(n) o número de quadrados necessários na iteração n, teremos que esse número cresce com n na seguinte forma:

N(n) = 4ⁿ.

Agora precisamos saber qual é a área de cada quadradinho na iteração n. Supondo que não sabemos qual é a dimensão D do quadrado, vamos escrever apenas que essa área é proporcional ao lado elevado a alguma potência D desconhecida, ou seja, A = d^D.

Na primeira iteração, o lado vale d = L/2. Na segunda, o lado é igual a L/4, na terceira ele vale L/8 e assim por diante, sempre dividindo-se por dois. Assim, na iteração n teremos que o lado valerá L/2ⁿ. Concluímos que a área de um quadradinho usado na iteração de número n será dada por

Logo, a área total do quadrado será dada pelo número de quadradinhos N(n) vezes área de cada quadradinho A(n), ou seja,

Podemos escrever essa fórmula no seguinte modo, colocando-se tudo o que está elevado à potência n dentro de um parêntesis,

Agora vem o ponto essencial: queremos que essa medida de área faça sentido quando usarmos um número n de iterações muito grande (tendendo ao infinito). Não sabemos quanto vale D, mas se o número 4/2^D for maior que um, a área total aumentaria sempre conforme aumentamos n. E se 4/2^D for menor que um, a área total diminuiria quando aumentamos n. Logo, a única possibilidade para que a área total seja uma grandeza bem definida, nem zero nem infinita, é que 4/2^D = 1, pois sabemos que 1n vale sempre 1, não importa o valor de n.

Mas a solução da equação 4/2^D = 1 é claramente D = 2. Assim, concluímos que o quadrado precisa ser recoberto por quadradinhos com dimensão D = 2, e sua área total é

Muito esforço para pouco resultado! Já sabíamos há muito tempo que um quadrado é um objeto com dimensão D = 2 e cuja área é L2! Sim, mas agora podemos usar o mesmo método do recobrimento para medir a dimensão de um objeto fractal!

Vamos examinar uma espécie de tapete de Sierpinsky feito de quadrados (Fig. 3.11). A cada iteração n, dividimos cada quadrado em 4 quadradinhos menores e eliminamos um deles (por exemplo, o do canto superior esquerdo). Como cada quadrado sempre irá gerar três novos quadrados, a cada iteração teremos três vezes o numero anterior de quadrados, ou seja, o número de quadradinhos será 1, 3, 9, 27… ou seja, N(n) = 3ⁿ. Agora, como antes, o tapete será recoberto por "quadradinhos" cuja medida é (L/2ⁿ)^D com D desconhecido, possivelmente fractal. A medida total (que não chamaremos mais de área A, mas sim de medida fractal MD) será

Como antes, essa medida só será diferente de zero ou infinito caso a fração seja igual a 1, ou seja, o numerador e o denominador forem iguais,

Agora, qual a solução dessa equação? Bom, se D fosse igual a 1, teríamos 3 = 2, ou seja, o lado direito é menor que o esquerdo, o que não está certo. Se D fosse 2, teríamos 3 = 4, que também não está certo, sendo que desta vez o lado direito ficou maior que o esquerdo. Logo, D deve ser um número entre 1 e 2, ou seja, D é fracionário. A dimensão D desse objeto é fractal!

Tudo bem, mas quanto vale D exatamente? Bom, eu poderia dizer que para resolver a equação 2^D = 3 você precisa usar logaritmos (ou seja, aquela coisa chata que cai no vestibular, todo mundo decora e que ninguém sabe para que serve…). Mas como este livro foi feito para ser lido mesmo por leitores que não sabem ou não se lembram dos logaritimos, precisamos de algo mais inteligente, não?

Pois bem, faça assim: pegue uma calculadora que faz o cálculo de potências (serve aquela calculadora virtual que todo computador têm, no modo científico) e eleve 2 a algum expoente entre 1 e 2 (por exemplo, D = 1,5). Ora, 2^1,5 é igual a 2,8284… que é quase 3, mas ainda é muito pouco. Bom, então tente um valor de D maior, digamos D = 1,7. Agora, temos que 2^1,7 = 3,2490… Hum! Maior que três, erramos o alvo, parece que aumentamos D demais! Lembre-se, precisamos obter exatamente três para que a equação 2^D = 3 seja satisfeita. Assim, vamos tentar agora D = 1,6. Dessa vez obtemos 2^1,6 = 3,03143… Opa, chegamos perto! Mas ainda um pouco acima, que tal usar D um pouco menor, digamos D = 1,58?

Continuando assim, subindo e descendo o valor de D até obter um número mais perto de 3,0000… você acabará obtendo que o valor de D deve ser próximo de 1,585. O valor é aproximadamente (os pontinhos indicam que existe um número infinito de decimais).

Confirme isso usando sua calculadora. (Idéia: já que agora você sabe para que eles servem, que tal aprender logaritmos? Veja o Box 3). Ora, essa é a mesma dimensão D do tapete de Sierpinsky triangular que vimos antes. Sim, claro! Naquele caso dividimos um triângulo em quatro partes iguais e eliminamos uma parte em cada passo, um processo muito parecido com o que fizemos agora com o quadrado. Mesmo visualmente, esses dois fractais são parecidos, não?

Para finalizar: esse método de determinar a dimensão fractal D é chamado de "método do recobrimento" e pode ser usado para todos os outros fractais, mesmo para os fractais irregulares (com pequenas adaptações). E a dimensão fractal determinada deste modo é chamada de Dimensão de Hausdorff, em homenagem ao matemático Felix Haussdorff (1858-1942) que primeiro introduziu essa idéia.

Box 3.3: Calculando a dimensão fractal exatamente

Nos nossos exemplos, quando você calcula a dimensão fractal pelo método do recobrimento, você sempre chega a uma equação do tipo:

Para obter o valor de D você precisa isolá-lo. Para isso, usamos a propriedade de que o logaritmo de um produto de números é igual à soma de seus logaritmos:

Esta propriedade que transforma produtos em somas foi a grande motivação para se definir os logaritmos. Isso vale qualquer que seja o numero de fatores, ou seja:

Mas AD = A.A…A com o fator A se repetindo D vezes, se D for um número inteiro. Assim,

Mas esta propriedade ("a queda do expoente") na verdade vale também quando D é um número real. Usando isso na equação (*), ou seja, tirando o logaritmo dos dois lados, temos

Note que estamos usando a notação em que Log é o logaritmo na base 10, apenas para que você possa usar sua calculadora. Mas todas essas propriedades valem para logaritmos em qualquer base.

No exemplo do tapete de Sierpinsky, temos A = 2 e C = 3. Portanto, isolando D, temos:

ou seja, D = 1,585 aproximadamente.

Um caminho mais curto é reconhecer que a equação A^D = C equivale à própria definição de logaritmo: D é o logaritmo de C na base A, ou seja, D = Log_A (C). Usando a propriedade que conecta logaritmos na base A com logaritmos na base 10 temos: Log_A (C) = Log (C) / Log (A), obtemos o mesmo resultado anterior. Para mais detalhes sobre logaritmos e sua história veja http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

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