O Monge Mandelbrot

Até recentemente, Udo de Aachen ocupou a margem dos livros de história como um poeta, copista e ensaísta teológico menor. Até mesmo as datas de nascimento e morte deste monge beneditino medieval são desconhecidas, embora ele provavelmente tenha vivido por volta de 1200-1270 DC. [*1] Um novo estudo de seu trabalho no entanto levou ao seu reconhecimento como um matemático incrivelmente original e talentoso.

Enquanto o próprio Udo é pouco conhecido, um de seus trabalhos é muito familiar. Este monge alemão do século XIII foi o autor do poema intitulado Fortuna Imperatrix Mundi (Sorte, Imperatriz do Mundo) na coleção de versos medievais hoje conhecidos como Carmina Burana. [*2] Orquestrado pelo compositor Carl Orff em 1937, o poema de Udo é hoje muito difundido enquanto o coral,  O Fortuna, foi usado pela mídia muitas vezes, de música incidental ao filme Excalibur, passando por comerciais de loção pós-barba.

A primeira pista dos talentos desconhecidos de Udo foi encontrada pelo matemático Bob Schipke, um professor aposentado de combinatória. Em uma visita de férias à catedral de Aachen, local do sepultamento de Carlos Magno, Schipke viu algo que o maravilhou. Em uma minúscula cena de natividade iluminando o manuscrito de um cântico de Natal do século XIII, O froehliche Weihnacht, ele notou que a Estrela de Belém parecia estranha. Ao examiná-la em detalhe, ele viu que a imagem adornada parecia ser a representação do conjunto de Mandelbrot, um dos ícones da era do computador. [*3]

Descoberto em 1976 pelo pesquisador da IBM Benoit Mandelbrot, o conjunto de Mandelbrot é o mais famoso fractal (um objeto matemático com a propriedade de detalhe infinito). Apenas o advento de computadores rápidos tornou plausível os cálculos repetidos envolvidos – ou assim se pensava. [*4]

"Eu fiquei estupefato", Schipke diz. "Era como encontrar a foto de Bill Gates nos Manuscritos do Mar Morto. O colofão [a página título] nomeava o copista como Udo de  Aachen, e eu tinha que saber mais sobre este sujeito."

Schipke visitou a Bavária, onde os poemas, Cantiones profanae (agora Carmina Burana), fora descobertos em 1837. Escritos por estudiosos e monges de passagem no século XIII, foram coletados como um antologia no monastério Beneditino em Beuron, próximo de Munique, e Schipke começou sua busca lá. Com a ajuda do historiador Dr Antje Eberhardt da Universidade de Munique, Schipke ganhou acesso aos arquivos eclesiásticos, onde ele encontrou um documento intitulado Códice Udolphus. Escrito em latim iluminista, com marginália informal em grego, o Códice continha a assinatura do próprio Udo.

"Embora tenha sido descoberto no século XIX, foi prontamente descartado novamente", Schipke diz. "O historiador local que o encontrou claramente não era um matemático, e o descartou como teologia obscura. Mas rendeu várias grandes surpresas".

Em um trabalho recente, Schipke e  Eberhardt relatam as descobertas de Udo. [*5] O primeiro capítulo, Astragali (Dado) foi originalmente entendido como um discurso sobre os males do jogo. Mas revelou ser a pesquisa de Ufo no que hoje é chamado de teoria de probabilidades. Ele derivou regras simples para adicionar e multiplicar probabilidades, e assim desenvolveu estratégias para vários jogos de cartas e dados.

A segunda parte, Fortuna et Orbis (Sorte e um Círculo) descreve a determinação de Udo do valor de pi ao espalhar varetas iguais em uma superfície pautada, e contando que proporção está além das linhas. Esta era uma antecipação da técnica de agulhas de Buffon, chamada assim devido ao matemático do século XVIII a que normalmente se atribui sua descoberta. [*6] Este é um método muito trabalhoso, mas Udo conseguiu uma aproximação respeitável – e de muita sorte – de 866/275 (3.1418…) e teve confiança suficiente nele para contestar o valor de pi=3 implicado na Bíblia [*7] (Eu digo ‘sorte’ porque o Método de Buffon converge extramamente mal, e é bem possível que Udo tenha alcançado seu bom resultado ao escolher judiciosamente onde parar – talvez influenciado pelo valor de 3.1418 citado por seu contemporâneo, Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci).

Schipke continua: "O que foi interessante neste ponto é que olhamos de novo às palavras de O Fortuna, e subitamente tudo fez sentido. Verso dois – Sorte / como a lua / mutável em estado / Nós somos subjugados / como galhos (varetas) em um campo arado / Nossos destinos medindo / o círculo eterno – é muito claramente uma alusão ao método de agulha de Buffon". [*8]

Mais estava por vir. No capítulo final e mais longo, Salus (Salvação), Schipke descobriu o mais radical trabalho. Udo tinha, ao que parecia, investigado o conjunto de Mandelbrot, sete séculos antes de Mandelbrot.

Inicialmente, o objetivo de Udo era desenvolver um método de determinar quem atingiria o paraíso. Ele assumiu que a alma de cada pessoa era composta de partes individuais que ele chamou "profanus" (profana) e "animi" (espiritual), e representou essas partes por um par de números. Então ele desenvolveu regras para desenhar e manipular estes pares de números. De fato, ele desenvolveu as regras para a aritmética de números complexos, o espiritual e o profano correspondendo aos números reais e imaginários da matemática moderna.

Em Salus, Udo descreve como ele usou esses números: "A alma de cada pessoa passa por julgamentos por cada três anos e dez de vida alocada, [englobando?] sua própria natureza e diminuído ou elevado em estatura por outros [que] encontra, vagando entre o bem e o mal até {que ela é] ou jogada na escuridão ou levada para sempre a Deus."

Quando Schipke viu a tradução, imediatamente viu o que realmente era: uma descrição alegórica do processo interativo para calcular o Mandelbrot. Em termos matemáticos, o sistema de Udo começaria com um número complexo z, então o iteraria 70 vezes pela regra z -> z*z + c, até z ou divergir ou ser pego em uma órbita. [*4]

Abaixo da descrição estava desenhado o primeiro gráfico rude de Mandelobrot, que Udo chamou de "Divinitas" ("Cabeça de Deus"). Ele o representou em um quadro de 120×120 que denominou de um "columbarium" (i.e. um pombal, que tem uma rede similar de nichos) e registra que lhe tomou nove anos para calcular, mesmo com a nova técnica aperfeiçoada do ‘algorismo’, o cálculo com numerais arábicos ao invés do ábaco.

"Costuma ser tomado como certo", Schipke diz, "Que o Mandelbrot requer muitos cálculos para ser traçado sem computadores. O que nós devemos lembrar é a completa devoção da vida monástica. Este era um trabalho de fé, e Udo estava preparado para trabalhar por anos. Alguns pixels de convergência baixa devem ter tomado semanas".

Por que o trabalho deste matemático talentoso passou desperecebido por tanto tempo? Schipke culpa, em parte, a especialização. "Quando o Códice foi descoberto em 1879, apenas um não-matemático iria vê-lo, e não sabia o que estava vendo. É uma história muito comum. Tome Hildegard de  Binge
n por exemplo, cujos relatos de visões foram tomados como puro misticismo, mas o neurologista Oliver Sacks instantaneamente os reconheceu como descrições acuradas de sintomas da enxaqueca. Da mesma forma, críticos literários descartaram o trabalho final de Edgar Allan Poe, Eureka, como divagações etílicas. Mas agora cientistas estão encontrando insights válidos nele, como a solução correta de Poe do paradoxo de Olbers paradox na astronomia, ou sua criação da frase classicamente Einsteniana, ‘Espaço e duração são um’". [*9, *10]

"mas também há razões contemporâneas por que o conhecimento de Udo não se tornou bem conhecido. Sua crença básica – que salvação e danação poderiam ser determinados com antecedência – era herética, e seu uso de numerais arábicos era tomada um tanto como arte negra. E houve o desentendimento com Thelonius."

Apesar da natureza limítrofe de seu trabalho, Udo impressionou seu abade no monastério de Sankt Umbertus perto de Aachen. A vida para um monge do século XIII não era necessariamente austera: os poemas indecentes Cantiones profanae registram as delícias do sexo, comida, bebeida e jogo. EM uma nota de rodapé em Astragali, Udo escreve: "Minha enumeração dos caminhos [do dado] ajudaram meu senhor abade a ganhar trinta e dois florins e um ótimo manto novo de Burgermeister em Irrendorf, e ele me prometeu um ajudante para meu trabalho".

Mas Udo e seu ajudante, Thelonius, acabaram se desentendendo. Udo sempre interpretou o Mandelbrot como significando Deus. Thelonius tomou a visão oposta: que representava o Demônio. Números que escapavam para o inifnito, argumentou, eram almas escapando do paraíso, e aquelas presas em uma órbita haviam caído no abismo do Inferno. Como muitas colaborações teológicas, eles tinham uma divisão em suas mãos.

Udo notou que suas diferenças levaram todo o trabalho a uma paralisação, e finalmente os dois foram repreendidos pelo abade por chegar a brigar no refeitório. "É com tristeza que escrev", diz Udo na última página do Códice Udolphus, "que sob pena de exomunicação devo deixar de lado meu dado e meus números. Eu pude ver o reino de complexidade paradisíaca, e meu coração pesa com o fato de que a porta está agora fechada".

Bob Schipke comenta: "É uma pena que diferenças pessoais terminaram uma pesquisa que poderia ter levado a matemática séculos à frente. Mas felizmente, Udo não pôde deixar o tema abandonado. Ao deixar pistas nos It’s a pity that personal differences ended research that could have moved mathematics forward by centuries. But fortunately, Udo couldn’t leave the subject alone. By dropping clues into the Cantiones profanae e os manuscritos que ele iluminou posteriormente em sua vida, ele garantiu que fôssemos capazes de recuperar seu trabalho e conceder-lhe o reconhecimento que merece".

Referências:
[1] "The Benedictine Order: a Historical Miscellany", edited by Rose M Wolanski, Springer-Verlag, 1965.
[2] "Carmina Burana, Frequently Asked Questions", by Charles Cave. http://www.classical.net/music/comp.lst/works/orff-cb/carmina.html
[3] "O froehliche Weihnacht", ms. circa 1250 AD, Aachener Dombibliothek, acquisition nr. GM801-237, Blatt 1a. Photograph by Bob Schipke.
[4] "Chaos: making a new science", James Gleick, Abacus Books, 1989.
See also the sci-fractals FAQ, maintained by Michael C. Taylor and Jean-Pierre Louvet. (ftp://rtfm.mit.edu/pub/usenet/news.answers/sci/fractals-faq).
[5] Schipke, R.J. and Eberhardt, A. "The forgotten genius of Udo von Aachen", Harvard Journal of Historical Mathematics, 32, 3 (March 1999), pp 34-77.
[6] "Buffon’s Needle, an Analysis and Simulation" by George Reese. (http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html).
[7] II Chronicles, iv, 2: "Also he made a molten sea of ten cubits from brim to brim, round in compass … and a line of thirty cubits did compass it round about" (Authorized King James Version).
[8] Lyrics, translated by William Mann, to Orff’s "Carmina Burana (Cantiones profanae)", EMI recording SAN 162, 1965.
[9] Oliver W Sacks, "Migraine: Evolution of a Common Disorder", University of California Press, 1970.
See also: "Hildegard of Bingen": website by Sabina Flanagan, University of Adelaide ( http://www.uni-mainz.de/~horst/hildegard/documents/flanagan.html).
[10] "Edgar Allan Poe’s Eureka: I Have Found It!" by David Grantz; at The Poe Decoder, Poe analysis site by Christoffer Nilsson. (http://www.poedecoder.com/).

The Mandelbrot Monk has been cited at:
El monje de Mandelbrot: Oct/Dec 1999 issue of ContactoS, an educational e-journal from the Universidad Autónoma Metropolitana, Mexico;
Netsurfer Digest 07.07, March 15th 2001;
Cool Math Site of the Week, March 18th 2001, Canadian Mathematical Society’s KaBoL project;
Newsletter of the Mew Zealand Mathematical Society, #82, August 2001;
ABCNews.com: Monk’s ‘Startling’ Math Discovery, John Allen Paulos, "Who’s Counting column, April 27 2001.

© Ray Girvan (ray@raygirvan.co.uk), 1 de abril de 1999.
O autor agradece sinceramente ao falecido Bob Schipke por permissão para reproduzir seu trabalho.